数学のブログ

整数約数と倍数整除、剰余、零、性質、反射率、反対称律、推移律

親切な代数学演習新装2版―整数・群・環・体
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学習環境

親切な代数学演習新装2版―整数・群・環・体 (加藤明史(著)、現代数学社)の第Ⅰ部(整数)、第1章(約数と倍数)の問1、2の解答を求めてみる。

1-1

\begin{array}{l} 15 = 3 \cdot 5 \\ 3 | 15 \end{array}

よって記号の用い方は正しい。

1-2

4 = 12 \cdot 0 + 4

正しくない。

1-3

\begin{array}{l} 0 = 7 \cdot 0 \\ 7 | 0 \end{array}

正しい。

1-4

\begin{array}{l} - 45 = 5 \cdot (- 9) \\ 5 | - 45 \end{array}

正しい。

2-1

\begin{array}{l} a \neq 0 \\ a = a \cdot 1 \end{array}

よって

\begin{array}{l} a \neq 0 \\ a | a \end{array}

2-2

a | b \land b | a

ならば、ある整数

q_{1}, q_{2} \in ℤ

が存在して、

b = a q_{1} \land a = b q_{2}

なので、

a = a q_{1} q_{2}

よって、

q_{1} q_{2} = 1

が成り立つ。

ゆえに

\begin{array}{l} q_{1} = q_{2} = 1 \\ a = b \end{array}

または

\begin{array}{l} q_{1} = q_{2} = - 1 \\ a = - b \end{array}

以上より、

a | b \land b | a \Rightarrow a = \pm b

が成り立つ。

2-3

a | b \land b | c

ならばある整数

q_{1}, q_{2} \in ℤ

が存在して、

\begin{array}{l} b = a q_{1} \\ c = b q_{2} = a q_{1} q_{2} \end{array}

よって

a | c

（証明終）