整数約数と倍数任意の正の整数、零、最大公倍数

学習環境

親切な代数学演習新装2版―整数・群・環・体 (加藤明史(著)、現代数学社)の第Ⅰ部(整数)、第1章(約数と倍数)の問5の解答を求めてみる。

5-1

\begin{array}{l} a | a \\ a | 0 \end{array}

なので、aはaと0の公約数であり、 aは正の整数で、
任意のaの約数bは

b \leq a

なので、 aはaと0 の最大公約数である。

(a, 0) = a

（証明終）

5-2

1は

a, a + 1

の公約数である。

1より大きい公約数bが存在すると仮定すると、ある整数

q_{1}, q_{2} \in ℤ

が存在して、

\begin{array}{l} a = b q_{1} \\ a + 1 = b q_{2} \end{array}

が成り立つので、

\begin{array}{l} b q_{1} + 1 = b q_{2} \\ b (q_{2} - q_{1}) = 1 \\ q_{2} - q_{1} = \frac{1}{b} \end{array}

この左辺は整数なので、右辺も整数で、

\begin{array}{l} \frac{1}{b} \in ℤ \\ b = 1 \lor b = - 1 \end{array}

となり、仮定と矛盾。

よって、 1より大きい公約数は存在しない。すなわち 1が最大公約数である。

(a, a + 1) = 1

（証明終）