数学のブログ

微分法 エルミートの多項式、指数関数、n階微分、性質、多項式、次数、係数、関数の積、ライプニッツ則、2項係数、階乗

微分積分演習〈理工系の数学入門コース/演習 新装版〉 (和達 三樹(著)、十河 清(著)、岩波書店)の第3章(微分法)、3-2(微分法)、問題4の解答を求めてみる。

1

H n - 1 ( x ) = ∑ k = 0 n - 2 c k x k + 2 n - 1 x n - 1

とすると、

( - 1 ) n - 1 e x 2 d n - 1 d x n - 1 e - x 2 = ∑ k = 0 n - 2 c k x k + 2 n - 1 x n - 1 d n - 1 d x n - 1 e - x 2 = 1 ( - 1 ) n - 1 e x 2 ( ∑ k = 0 n - 2 c k x k + 2 n - 1 x n - 1 )

両辺を変数xについて微分する。

d n dx n e - x 2 = 1 ( - 1 ) n - 1 1 ( e x 2 ) 2 ( ( ∑ k = 1 n - 2 k c k x k - 1 + 2 n - 1 ( n - 1 ) x n - 2 ) e x 2 - ( ∑ k = 0 n - 2 c k x k + 2 n - 1 x n - 1 ) e x 2 2 x ) ( - 1 ) n e x 2 d n dx n e - x 2 = 2 n x n + ∑ k = 0 n - 2 c k x k + 1 - ( ∑ k = 1 n - 2 k c k x k - 1 + 2 n - 1 ( n - 1 ) x n - 2 ) H n ( x ) = 2 n x n + ∑ k = 0 n - 2 c k x k + 1 - ( ∑ k = 1 n - 2 k c k x k - 1 + 2 n - 1 ( n - 1 ) x n - 2 )

これはn次の多項式で、最高次の係数は

2 n

である。

よって帰納法により成り立つ。

（証明終）

2

d dx H n ( x ) = ( - 1 ) n ( 2 x e x 2 d n dx n e - x 2 + e x 2 d n + 1 dx n + 1 e - x 2 ) = 2 x ( - 1 ) n e x 2 d n dx n e - x 2 - ( - 1 ) n + 1 e x 2 d n + 1 dx n + 1 e - x 2 = 2 x H n ( x ) - H n + 1 ( x )

3

H n + 1 ( x ) = ( - 1 ) n + 1 e x 2 d n + 1 dx n + 1 e - x 2 = ( - 1 ) n + 1 e x 2 ( d n dx n ( - 2 x ) e - x 2 ) = 2 ( - 1 ) n e x 2 d n dx n ( x e - x 2 ) = 2 ( - 1 ) n e x 2 ∑ k = 0 n ( n k ) ( d k dx k x ) ( d n - k dx n - k e - x 2 ) = 2 ( - 1 ) n e x 2 ( x d n dx n e - x 2 + n d n - 1 dx n - 1 e - x 2 ) = 2 x ( - 1 ) n e x 2 d n d x n e - x 2 - 2 n ( - 1 ) n - 1 d n - 1 d x n - 1 e - x 2 = 2 x H n ( x ) - 2 n H n - 1 ( x )

2より、

4

H n + 1 ( x ) = 2 x H n ( x ) - d dx H n ( x )

両辺を変数x について微分すると、

d dx H n + 1 ( x ) = d dx ( 2 x H n ( x ) - d dx H n ( x ) ) = 2 H n ( x ) + 2 x d dx H n ( x ) - d 2 d x 2 H n ( x ) = ( 2 + 2 x d dx - d 2 d x 2 ) H n ( x )

また、2に3を代入すれば、

d dx H n + 1 ( x ) = H n + 1 ( x ) - H n + 2 ( x ) = 2 x H n + 1 ( x ) - ( 2 x H n + 1 - 2 ( n + 1 ) H n ( x ) ) = 2 ( n + 1 ) H n ( x )

よって、

( 2 + 2 x d dx - d 2 dx 2 ) H n ( x ) = 2 ( n + 1 ) H n ( x ) ( d 2 dx 2 - 2 x d dx + 2 n ) H n ( x ) = 0

（証明終）

コード(Wolfram Language, Jupyter)

h[n_, x_] := (-1)^n Exp[x^2] D[Exp[-x^2], {x, n}]

Plot[Evaluate[Table[h[n, x], {n, 0, 5}] // Expand], {x, -5, 5},
     PlotRange -> {-150, 150},
     PlotLegends -> "Expressions"]
Output