数学のブログ

多変数の関数陰関数 C^2級の関数

解析入門(中)
(松坂和夫数学入門シリーズ 5)
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解析入門(中) (松坂和夫数学入門シリーズ 5) (松坂和夫 (著)、岩波書店)の第14章(多変数の関数)、14.4(陰関数)、問題1の解答を求めてみる。

fは

C^{2}

級の関数なので、

\begin{array}{l} D_{1} f (x, y) \\ D_{2} f (x, y) \end{array}

は

C^{1}

級の関数である。

よって、

g' (x) = - \frac{D_{1} f (x)}{D_{2} f (x)}

は

C^{1}

級の関数である。

ゆえに、

C^{2}

級の関数である。

\begin{array}{l} g'' (x) \\ = - \frac{1}{{(D_{2} f)}^{2}} (\frac{d}{dx} D_{1} f D_{2} f - D_{1} f \frac{d}{dx} D_{2} f) \\ = - \frac{1}{{(D_{2} f)}^{2}} ((D_{1}^{2} f + D_{1} D_{2} f \cdot g' (x)) D_{2} f - D_{1} f (D_{1} D_{2} f + D_{2}^{2} f \cdot g' (x))) \end{array}

また、

g' (x) = - \frac{D_{1} f (x, y)}{D_{2} f (x, y)}

なので、

\begin{array}{l} g'' (x) = \frac{1}{{(D_{2} f)}^{3}} (- (D_{1}^{2} f) {(D_{2} f)}^{2} + (D_{1} D_{2} f) (D_{1} f) (D_{2} f) \\ + (D_{1} f) (D_{1} D_{2} f) (D_{2} f) - D_{2}^{2} f {(D_{1} f)}^{2}) \end{array}

= \frac{- D_{1}^{2} f {(D_{2} f)}^{2} + 2 (D_{n} D_{2} f) (D_{1} f) (D_{2} f) - D_{2}^{2} f {(D_{1} f)}^{2}}{{(D_{2} f)}^{3}}