多変数の関数陰関数 3変数、ある点における陰関数の存在、偏導関数、微分

学習環境

解析入門(中) (松坂和夫数学入門シリーズ 5) (松坂和夫 (著)、岩波書店)の第14章(多変数の関数)、14.4(陰関数)、問題4の解答を求めてみる。

\begin{array}{l} D_{3} f (x, y, z) = 2 z - 4 x \\ D_{3} f (1, - 1, 1) = 2 - 4 = - 2 \neq 0 \end{array}

よって、点

(1, - 1, 1)

において陰関数が定まる。

\begin{array}{l} D_{1} f (x, y, z) = 2 x - y - 4 z \\ D_{2} f (x, y, z) = 2 y - x \end{array}

よって、

\begin{array}{l} D_{1} g (x, y) = - \frac{D_{1} f (x, y, z)}{D_{3} f (x, y, z)} = - \frac{2 x - y - 4 z}{2 z - 4 x} \\ D_{1} g (1, - 1) = - \frac{2 + 1 - 4}{2 - 4} = - \frac{1}{2} \end{array}

\begin{array}{l} D_{2} g (x, y) = - \frac{2 y - x}{2 z - 4 x} \\ D_{2} g (1, - 1) = - \frac{- 2 - 1}{2 - 4} = - \frac{3}{2} \end{array}

\begin{array}{l} D_{3} f (x, y, z) = x y e^{x y z} - 1 \\ D_{3} f (0, - 1, 2) = - 1 \neq 0 \end{array}

よって点、

(0, - 1, 2)

において陰関数が定まる。

\begin{array}{l} D_{1} f (x, y, z) = y z e^{x y z} - 1 \\ D_{2} f (x, y, z) = x z e^{x y z} - 1 \end{array}

\begin{array}{l} D_{1} g (x, y) = - \frac{y z e^{x y z} - 1}{x y e^{x y z} - 1} \\ D_{1} g (0, - 1) = - \frac{- 2 - 1}{- 1} = - 3 \end{array}

\begin{array}{l} D_{2} g (x, y) = - \frac{x z e^{x y z} - 1}{x y e^{x y z} - 1} \\ D_{2} g (0, - 1) = - \frac{- 1}{- 1} = - 1 \end{array}

コード、入出力結果(Wolfram Language, Jupyter)

ContourPlot3D[x^2+y^2-x y - 4 x z, {x, -2, 2}, {y, -2, 2}, {z, -2, 2}]

ContourPlot3D[Exp[x y z] - x - y - z, {x, -0.5, 0.5}, {y, -1.5, -0.5}, {z, 1.5, 2.5}]