数学のブログ

多変数の関数 陰関数 3変数、ある点における各変数の陰関数の存在、偏導関数、微分

解析入門(中) (松坂和夫 数学入門シリーズ 5) (松坂 和夫 (著)、岩波書店)の第14章(多変数の関数)、14.4(陰関数)、問題5の解答を求めてみる。

a

D 2 f ( x , y , z ) = 2 y - x D 2 f ( 1 , - 1 , 1 ) = - 2 - 1 = - 3 ≠ 0

よって、 点

( 1 , - 1 , 1 )

において陰関数

y = h ( x , z )

を定める。

また、

D 1 f ( x , y , z ) = 2 x - y - 4 z D 3 f ( x , y , z ) = 2 z - 4 x

で、

D 1 h ( x , z ) = - D 1 f ( x , y , z ) D 2 f ( x , y , z ) = - 2 x - y - 4 z 2 y - x D 2 k ( x , z ) = - D 3 f ( x , y , z ) D 2 f ( x , y , z ) = - 2 z - 4 x 2 y - x

なので、

D 1 h ( 1 , 1 ) = - 2 - ( - 1 ) - 4 - 3 = - 1 5 D 2 h ( 1 , 1 ) = - 2 - 4 - 3 = - 2 3

kについて。

D 1 f ( 1 , - 1 , 1 ) = 2 + 1 - 4 = - 1 ≠ 0

よって、 点

( 1 , - 1 , 1 )

においで陰関数

x = k ( y , z )

と定める。

また、

D 1 k ( - 1 , 1 ) = - D 2 f ( 1 , - 1 , 1 ) D 1 f ( 1 , - 1 , 1 ) = - - 3 - 1 = - 3 D 2 k ( - 1 , 1 ) = - D 3 f ( 1 , - 1 , 1 ) D 1 f ( 1 , - 1 , 1 ) = - - 2 - 1 = - 2

b

D 1 f ( x , y , z ) = y z e x y z - 1 D 2 f ( x , y , z ) = x z e x y z - 1 D 3 f ( x , y , z ) = x y e x y z - 1
D 1 f ( 0 , - 1 , 2 ) = - 2 - 1 = - 3 ≠ 0 D 2 f ( 0 , - 1 , 2 ) = - 1 ≠ 0 D 3 f ( 0 , - 1 , 2 ) = - 1

よって 点

( 0 , - 1 , 2 )

において陰関数

y = h ( x , z ) x = k ( y , z )

と定め、

D 1 h ( 0 , 2 ) = - D 1 f ( 0 , - 1 , 2 ) D 2 f ( 0 , - 1 , 2 ) = - - 3 - 1 = - 3 D 2 h ( 0 , 2 ) = - D 3 f ( 0 , - 1 , 2 ) D 2 f ( 0 , - 1 , 2 ) = - - 1 - 1 = - 1
D 1 k ( 0 , 2 ) = - D 2 f ( 0 , - 1 , 2 ) D 1 f ( 0 , - 1 , 2 ) = - - 1 - 3 = - 1 3 D 2 k ( 0 , 2 ) = - D 3 f ( 0 , - 1 , 2 ) D 1 f ( 0 , - 1 , 2 ) = - - 1 - 3 = - 1 3

コード、入出力結果(Wolfram Language, Jupyter)

ContourPlot3D[x^2+y^2-x y - 4 x z, {x, -2, 2}, {y, -2, 2}, {z, -2, 2}]
Output
ContourPlot3D[Exp[x y z] - x - y - z, {x, -0.5, 0.5}, {y, -1.5, -0.5}, {z, 1.5, 2.5}]
Output