数学のブログ

多変数の関数 陰関数 2変数、ある点における陰関数の存在、偏導関数、微分

解析入門(中) (松坂和夫 数学入門シリーズ 5) (松坂 和夫 (著)、岩波書店)の第14章(多変数の関数)、14.4(陰関数)、問題3の解答を求めてみる。

a

D 2 f ( x , y ) = x - 2 y D 2 f ( 1 , 2 ) = 1 - 4 = - 3 ≠ 0

よって、 点

( 1 , 2 )

において陰関数をもつ。

D 1 f ( x , y ) = 2 x + y + 1

よって、

g ' ( x ) = - 2 x + g ( x ) + 1 x - 2 g ( x ) g ' ( 1 ) = - 2 · 1 + 2 + 1 1 - 2 · 2 = 5 3

b

D 2 f ( x , y ) = - x sin x y + 1 D 2 f ( π , 1 ) = 1 ≠ 0

よって、 点、

( π , 1 )

において陰関数をもつ。

また、

D 1 f ( x , y ) = - y sin x y g ' ( x ) = - D 1 f ( x , y ) D 1 f ( x , y ) = y sin x y - x sin x y + 1 g ' ( a ) = sin π - sin π + 1 = 0

c

D 2 f ( x , y ) = x 2 e x y D 2 f ( 1 , 0 ) = 1 ≠ 0

よって、 点

( 1 , 0 )

において陰関数をもつ。

D 1 f ( x , y ) = e x y + x y e x y - 2 x

よって、

g ' ( x ) = - D 2 f ( x , y ) D 2 f ( x , y ) = - e x y + x y e x y - 2 x x 2 e x y

ゆえに、

g ' ( 1 ) = - 1 - 2 1 = 1

コード、入出力結果(Wolfram Language, Jupyter)

ContourPlot[x^2 - x y - y ^2 + x == 0, { x, -5, 5}, {y, -5, 5}]
Output
ContourPlot[Cos[x y] + y == 0, {x, -5, 5}, {y, -5, 5}]
Output
ContourPlot[x Exp[x y] - x^2 == 0, {x, -5, 5}, {y, -5, 5}]
Output