数学のブログ

多変数の関数 陰関数 費用最小化問題、条件付き極値問題、ラグランジュの乗数、偏導関数、連立方程式の解

解析入門(中) (松坂和夫 数学入門シリーズ 5) (松坂 和夫 (著)、岩波書店)の第14章(多変数の関数)、14.4(陰関数)、問題8の解答を求めてみる。

F ( x , y ) = ( a x + b y ) - λ ( x α y β - k )

とおく。

連立方程式

F x ( x , y ) = a - λ α x α - 1 y β = 0 F y ( x , y ) = b - λ β x α y β - 1 = 0 x α y β - k = 0

を解く。

a β x - λ α β x α y β = 0 b α y - λ α β x α y β = 0
a β x - b α y = 0 y = a β b α x
x α ( a β b α ) β x β - k = 0 x α + β = ( b α a β ) β k x = ( b α a β ) β α + β k 1 α + β
y = ( a β b α ) α α + β k 1 α + β

コード、入出力結果(Wolfram Language, Jupyter)

a = 1

1
b = 2

2
k = 100

100
alpha = 3

3
beta = 4

4
(b alpha / (a beta))^(beta/(alpha + beta)) k^(1/(alpha+beta))
Output
% // N

2.4341
((a beta)/(b alpha))^(alpha/(alpha+beta)) k^(1/(alpha+beta))
Output
% // N

1.62273
Plot3D[a x + b y, {x, 1, 3}, {y, 1, 3}]
Output
ContourPlot[x^alpha y^beta == k, {x, 1, 3}, {y, 1, 3}]
Output