多変数の関数陰関数条件付き極値問題、ラグランジュの乗数、偏導関数、連立方程式の解

学習環境

解析入門(中) (松坂和夫数学入門シリーズ 5) (松坂和夫 (著)、岩波書店)の第14章(多変数の関数)、14.4(陰関数)、問題6の解答を求めてみる。

F (x, y, λ) = (a x + b y) - λ (x^{2} + y^{2} - 1)

とおき、連立方程式

\begin{array}{l} F_{x} = a - 2 λ x = 0 \\ F_{y} = b - 2 λ y = 0 \\ x^{2} + y^{2} - 1 = 0 \end{array}

を解く。

問題の仮定より、

a \neq 0, b \neq 0

なので、

λ \neq 0

\begin{array}{l} x = \frac{a}{2 λ} \\ y = \frac{b}{2 λ} \\ \frac{a^{2}}{4 λ^{2}} + \frac{b^{2}}{4 λ^{2}} - 1 = 0 \end{array}

\begin{array}{l} \frac{a^{2} + b^{2}}{4} = λ^{2} \\ λ = \pm \frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{2} \end{array}

よって、

x = \pm \frac{a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}, y = \pm \frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}

（複号同順）

よって、最大値は

f (\frac{a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}, \frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}) = \frac{1}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} (a^{2} + b^{2}) = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

最小値は

f (- \frac{a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}, - \frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}) = - \frac{1}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} (a^{2} + b^{2}) = - \sqrt{a^{2} + b^{2}}

F (x, y, λ) = x^{3} + y^{3} - λ (x^{2} + y^{2} - 1)

\begin{array}{l} F_{x} = 3 x^{2} - 2 λ x = 0 \\ F_{y} = 3 y^{2} - 2 λ y = 0 \\ x^{2} + y^{2} - 1 = 0 \end{array}

\begin{array}{l} x (3 x - 2 λ) = 0 \\ y (3 y - 2 λ) = 0 \\ x^{2} + y^{2} - 1 = 0 \end{array}

\begin{array}{l} x = 0, y = \pm 1 \\ x = \pm 1, y = 0 \end{array}

\begin{array}{l} x = y = \frac{2}{3} λ \\ \frac{8}{9} λ^{2} = 1 \\ λ = \pm \frac{3}{2 \sqrt{2}} \\ x = y = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \end{array}

\begin{array}{l} f (0, \pm 1) = \pm 1 \\ f (\pm 1, 0) = \pm 1 \\ f (\pm \frac{1}{\sqrt{2}}, \pm \frac{1}{\sqrt{2}}) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \end{array}

よって、最大値は1、最小値は-1。

コード、入出力結果(Wolfram Language, Jupyter)

Plot3D[2x+3y, {x, -5, 5}, {y, -5, 5}]

Plot3D[x^3+y^3, {x, -5, 5}, {y, -5, 5}]