数学のブログ

多変数の関数 陰関数 効用最大化問題、条件付き極値問題、ラグランジュの乗数、偏導関数、連立方程式の解

解析入門(中) (松坂和夫 数学入門シリーズ 5) (松坂 和夫 (著)、岩波書店)の第14章(多変数の関数)、14.4(陰関数)、問題7の解答を求めてみる。

F ( x , y ) = x α y β - λ ( a x + b y - c )

とおく。

連立方程式。

F x ( x , y ) = α x α - 1 y β - λ a = 0 F y ( x , y ) = β x α y β - 1 - λ b = 0 a x + b y - c = 0
α β x α y β - λ a β x = 0 α β x α y β - λ b α y = 0 λ a β x - λ b α y = 0 y = a β b α x a x + b · a β b α x - c = 0 a x + a β α x - c = 0 ( α + a β α ) x = c x = α c a α + a β = α c a ( α + β ) y = β c b ( α + β )

よって、 このときに効用は最大となる。

コード、入出力結果(Wolfram Language, Jupyter)

a = 1

1
b = 2

2
c = 100

100
alpha = 3

3
beta = 4

4
alpha c / (a (alpha + beta))
Output
% // N

42.8571
beta c / (b (alpha + beta))
Output
% // N

28.5714
Plot3D[x^alpha y^alpha, {x, 0, 50}, {y, 0, 50}]
Output
ContourPlot[a x + b y == c, {x, 0, 50}, {y, 0, 50}]
Output