数学のブログ

多変数の関数 極値問題 3変数の2次形式、種類、正定符号、半定符号、半正、不定符号

解析入門(中) (松坂和夫 数学入門シリーズ 5) (松坂 和夫 (著)、岩波書店)の第14章(多変数の関数)、14.3(極値問題)、問題2の解答を求めてみる。

a

x 2 + y 2 + z 2 + x y + y z + z x = 1 2 ( ( x + y ) 2 + ( y + z ) 2 + ( z + x ) 2 ) > 0 ( x , y , z ) ≠ ( 0 , 0 , 0 )

よって、 この次形式は正定符号。

b

f ( x , y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 + 2 x y + 2 y + 2 z x = ( x + y + z ) 2 ≥ 0 ( 1 , - 1 , 0 ) ≠ ( 0 , 0 , 0 ) f ( 1 , - 1 , 0 ) = 0

よって、 平定符号、半正。

c

f ( x , y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 + 3 x y + 3 y z + 3 z x = ( x + y + z ) 2 + ( x y + y z + z x ) f ( 1 , 0 , 0 ) = 1 > 0 f ( 1 , - 2 , 0 ) = 1 - 2 < 0

よって不定符号。

コード(Wolfram Language, Jupyter)

Plot3D[x^2 + y^2/2, {x, -5, 5}, {y, -5, 5}]
Output
Plot3D[x^2 - y^2/2, {x, -5, 5}, {y, -5, 5}]
Output
Plot3D[x^2 + 2 2 x y + y^2, {x, -5, 5}, {y, -5, 5}]
Output
Plot3D[x^2 + 2 2 x y + 4 y^2, {x, -5, 5}, {y, -5, 5}]
Output
Plot3D[x^2 + 2 2 x y + 6 y^2, {x, -5, 5}, {y, -5, 5}]
Output
Plot3D[Exp[-x^2-y^2] (x^2 + y^2), {x, -2, 2}, {y, -2, 2}]
Output
Plot3D[Exp[-x^2-y^2] (x^2 + 2 y^2), {x, -2, 2}, {y, -2, 2}]
Output
Plot3D[x^2+-2x y^2+y-y^4, {x, 0, 1}, {y, 0, 1}]
Output