多変数の関数 極値問題 閉円盤上の関数の最大値と最小値、極座標、微分、零、増減 解析入門(中) (松坂和夫数学入門シリーズ 5) 楽天ブックス Yahoo!ショッピング au PAY マーケット 学習環境 Surface Windows 10 Pro (OS) Nebo(Windows アプリ) iPad MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iPadOS)) ハンズ・オン・スタートMathematica® -Wolfram言語™によるプログラミング(参考書籍) Pythonからはじめる数学入門(参考書籍) 解析入門(中) (松坂和夫 数学入門シリーズ 5) (松坂 和夫 (著)、岩波書店)の第14章(多変数の関数)、14.3(極値問題)、問題6の解答を求めてみる。 x 2 + y 2 = r 2 におけるfの最大値、最小値を考える。極座標に変換して考える。 x = r cos θ y = r sin θ f ( x , y ) = a x + b y x 2 + y 2 + 1 = 1 r 2 + 1 r ( a ( cos θ ) + b sin θ ) = r r 2 + 1 a 2 + b 2 ( a a 2 + b 2 cos θ + b a 2 + b 2 sin θ ) ここで、 sin t = a a 2 + b 2 cos t = b a 2 + b 2 を満たすtを考えれば、 f ( x , y ) = r a 2 + b 2 r 2 + 1 sin ( θ + t ) ここで、 g ( r ) = r r 2 + 1 という関数gを考えると、 g ' ( r ) = ( r 2 + 1 ) - 2 r 2 r 2 + 1 = 1 - r 2 r 2 + 1 g ' ( 1 ) = 0 0 ≤ r < 1 g ' ( r ) > 0 1 < r g ' ( r ) < 0 また、 - 1 ≤ sin ( θ + t ) ≤ 1 であることを考えれば、 R ≤ 1 のとき最大値は R a 2 + b 2 R 2 + 1 最小値は - R a 2 + b 2 R 2 + 1 R > 1 のとき最大値は a 2 + b 2 2 最小値は - a 2 + b 2 2 である。 コード(Wolfram Language, Jupyter) Plot3D[(x + 2 y) / (x^2+y^2), {x, -2, 2}, {y, -2, 2}]
