多変数の関数 極値問題 臨界点、極値点であるか否かの判定、偏導関数、2次形式、符号、零 解析入門(中) (松坂和夫数学入門シリーズ 5) 楽天ブックス Yahoo!ショッピング au PAY マーケット 学習環境 Surface Windows 10 Pro (OS) Nebo(Windows アプリ) iPad MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iPadOS)) ハンズ・オン・スタートMathematica® -Wolfram言語™によるプログラミング(参考書籍) Pythonからはじめる数学入門(参考書籍) 解析入門(中) (松坂和夫 数学入門シリーズ 5) (松坂 和夫 (著)、岩波書店)の第14章(多変数の関数)、14.3(極値問題)、問題1の解答を求めてみる。 a D 1 f ( x , y ) = 2 a 2 x D 1 f ( x , y ) = 2 b 2 y よって、臨界点は ( x , y ) = 0 D 1 2 f ( x , y ) = 2 a 2 D 1 D 2 f ( x , y ) = 0 D 2 2 f ( x , y ) = 2 b 2 Δ ( 0 , 0 ) = ( D 1 D 2 f ( 0 , 0 ) ) 2 - D 1 2 f ( 0 , 0 ) D 2 2 f ( 0 , 0 ) = - 2 a 2 · 2 b 2 < 0 よって極値点で、 D 1 2 f ( x , y ) > 0 なので極小点 である。b D 1 f ( x , y ) = 2 a 2 x D 2 f ( x , y ) = - 2 b 2 y よって臨界点は、 ( x , y ) = 0 D 1 2 f ( x , y ) = 2 a 2 D 1 D 2 f ( x , y ) = 0 D 2 2 f ( x , y ) = - 2 b 2 Δ ( x , y ) = 2 a 2 · 2 b 2 > 0 よって極値点ではない。c D 1 f ( x , y ) = 2 a x + 2 b y = 0 D 2 f ( x , y ) = 2 b x + 2 c y = 0 a ≠ 0 のとき、 x = - b a y 2 b ( - b a y ) + 2 c y = 0 - b 2 a y + c y = 0 b 2 - a c a y = 0 b 2 - a c ≠ 0 のとき、 臨界点は ( x , y ) = ( 0 , 0 ) D 1 2 f ( x , y ) = 2 a D 1 D 2 f ( x , y ) = 2 b D 2 2 f ( x , y ) = 2 c Δ ( 0 , 0 ) = ( D 1 D 2 f ( 0 , 0 ) ) 2 - D 1 2 f ( 0 , 0 ) D 2 2 f ( 0 , 0 ) = 4 b 2 - 4 a c = 4 ( b 2 - a c ) b 2 - a c < 0 のとき、 a > 0 ならば 極小点、 a < 0 ならば極大点である。 b 2 - a c > 0 のとき、 極値点ではない。 b 2 - a c = 0 のとき、 臨界点は、 ( - b a y , y ) すなわち 直線 x = - b a y 上のすべての点が臨界点。 a > 0 ならば極小点、 a < 0 ならば極大点である。 a = 0 のとき、 D 1 f ( x , y ) = 2 b y = 0 D 2 f ( x , y ) = 2 b x + 2 c y = 0 b = 0 , c ≠ 0 のとき、 2 c y = 0 y = 0 よって、臨界点は、 ( x , 0 ) すなわちx軸上のすべての点。 D 1 2 f ( x , y ) = 0 D 1 D 2 f ( x , y ) = 0 D 2 2 f ( x , y ) = 2 c Δ ( 0 , 0 ) = ( D 1 D 2 f ( x , 0 ) ) 2 - D 1 2 f ( x , 0 ) D 2 2 f ( x , 0 ) = 0 - 0 · 2 c = 0 これだけでは臨界点が極値点であるか否かは判断できない。 f ( x , 0 ) = 0 f ( x , y ) = c y 2 よって、 c > 0 なら極小点、 0 < 0 ならば極大点である。 b ≠ 0 , c = 0 のとき、 D 1 f ( x , y ) = 2 a x + 2 b y = 0 D 2 f ( x , y ) = 2 b x + 2 c y = 0 2 b y = 0 2 b x = 0 よって臨界点は ( x , y ) = ( 0 , 0 ) D 1 2 f ( x , y ) = 2 a D 1 D 2 f ( x , y ) = 2 b D 2 2 f ( x , y ) = 2 c Δ ( 0 , 0 ) = ( D 1 D 2 f ( 0 , 0 ) ) 2 - D 1 2 f ( 0 , 0 ) D 2 2 f ( 0 , 0 ) = 4 b 2 > 0 よって極小点である。 b ≠ 0 , c ≠ 0 のとき、 D 1 f ( x , y ) = 2 b y = 0 D 2 f ( x , y ) = 2 c y = 0 よって臨界点は、 ( x , 0 ) すなわちx軸上のすべての点。 D 1 2 f ( x , y ) = 2 a D 1 D 2 f ( x , y ) = 2 b D 2 2 f ( x , y ) = 2 c Δ ( 0 , 0 ) = ( D 1 D 2 f ( 0 , 0 ) ) 2 - D 1 2 f ( 0 , 0 ) D 2 2 f ( 0 , 0 ) = 4 b 2 > 0 よって、 極小点である。d D 1 f ( x , y ) = - 2 x e - x 2 - y 2 ( a x 2 + b y 2 ) + e - x 2 - y 2 2 a x = 2 x e - x 2 - y 2 ( - a x 2 - b y 2 + a ) D 2 f ( x , y ) = - 2 y e - x 2 - y 2 ( a x 2 + b y 2 ) + e - x 2 - y 2 2 b y = 2 y e - x 2 - y 2 ( - a x 2 - b y 2 + b ) 臨界点は、 ( 0 , 0 ) ( ± 1 , 0 ) ( 0 , ± 1 ) a = b のとき、 f ( x , y ) = a e - ( x 2 + y 2 ) ( x 2 + y 2 ) 極小点は ( 0 , 0 ) 極大点は x 2 + y 2 = 1 すなわち原点を中心とする半径1 の円の円周上の点すべて。 a ≠ b の 場合。 D 1 2 f ( x , y ) = 2 e - x 2 - y 2 ( - a x 2 - b y 2 + a ) + 2 x ( - 2 x ) e - x 2 - y 2 ( - a x 2 - b y 2 + a ) + 2 x e - x 2 - y 2 ( - 2 a x ) = 2 e - x 2 - y 2 ( - a x 2 - b y 2 + a + 2 a x 4 + 2 b x 2 y 2 - 2 a x 2 - 2 a x 2 ) = 2 e - x 2 - y 2 ( 2 a x 4 - 5 a x 2 + 2 b x 2 y 2 - b y 2 + a ) D 1 D 2 f ( x , y ) = 2 x ( - 2 y e - x 2 - y 2 ( - a x 2 - b y 2 + a ) + e - x 2 - y 2 ( - 2 b ) ) = 4 x y e - x 2 - y 2 ( a x 2 + b y 2 - a - b ) D 2 2 f ( x , y ) = 2 e - x 2 - y 2 ( - a x 2 - b y 2 + b ) + 2 y ( - 2 y ) e - x 2 - y 2 ( - a x 2 - b y 2 + b ) + 2 y e - x 2 - y 2 ( - 2 b y ) = 2 e - x 2 - y 2 ( - a x 2 - b y 2 + b + 2 a x 2 y 2 + 2 b y 4 - 2 b y 2 - 2 b y 2 ) = 2 e - x 2 - y 2 ( 2 b y 4 - 5 b y 2 + 2 a x 2 y 2 - a x 2 + b ) 臨界点 ( 0 , 0 ) について、 ( x , y ) ≠ ( 0 , 0 ) f ( 0 , 0 ) = 0 < f ( x , y ) より、極小点。 ( ± 1 , 0 ) について、 Δ ( ± 1 , 0 ) = - 2 e - 1 ( 2 a - 5 a + a ) 2 e - 1 ( - a + b ) = - 4 e - 2 ( - 2 a ) ( - a + b ) = - 8 a e - 2 ( a - b ) D 1 2 f ( ± 1 , 0 ) = - 4 e - 1 a < 0 よって 、 a - b > 0 a > b なら極大点、 a > b なら極値点ではない。 ( 0 , ± 1 ) について、 Δ ( 0 , ± 1 ) = - 2 e - 1 ( a - b ) 2 e - 1 ( 2 b - 5 b + b ) = - 4 e - 2 ( a - b ) ( - 2 b ) = 8 e - 2 ( a - b ) D 1 2 f ( 0 , ± 1 ) = 2 e - 1 ( a - b ) よって、 a - b < 0 a < b のとき極大値、 a > b のときも極値点ではない。e D 1 ( x , y ) = 2 x - 2 y 2 = 0 D 2 ( x , y ) = - 4 x y + 1 - 4 y 3 = 0 x = y 2 - 4 y 3 + 1 - 4 y 3 = 0 y 3 = 1 8 y = 1 2 x = 1 4 よって臨界点は、 ( 1 4 , 1 2 ) D 1 2 f ( x , y ) = 2 D 1 D 2 f ( x , y ) = - 4 y D 2 2 f ( x , y ) = - 4 x - 12 y 2 = - 4 ( x + 3 y 2 ) Δ ( 1 4 , 1 2 ) = 4 - 2 ( - 4 ( 1 4 + 3 4 ) ) > 0 よって極値点ではない。 コード(Wolfram Language, Jupyter) Plot3D[x^2 + y^2/2, {x, -5, 5}, {y, -5, 5}] Plot3D[x^2 - y^2/2, {x, -5, 5}, {y, -5, 5}] Plot3D[x^2 + 2 2 x y + y^2, {x, -5, 5}, {y, -5, 5}] Plot3D[x^2 + 2 2 x y + 4 y^2, {x, -5, 5}, {y, -5, 5}] Plot3D[x^2 + 2 2 x y + 6 y^2, {x, -5, 5}, {y, -5, 5}] Plot3D[Exp[-x^2-y^2] (x^2 + y^2), {x, -2, 2}, {y, -2, 2}] Plot3D[Exp[-x^2-y^2] (x^2 + 2 y^2), {x, -2, 2}, {y, -2, 2}] Plot3D[x^2+-2x y^2+y-y^4, {x, 0, 1}, {y, 0, 1}]
