多変数の関数極値問題実n次元空間、互いに直交する単位ベクトル、点、ノルム、2次形式の最小値、内積

学習環境

解析入門(中) (松坂和夫数学入門シリーズ 5) (松坂和夫 (著)、岩波書店)の第14章(多変数の関数)、14.3(極値問題)、問題3の解答を求めてみる。

f (x) = {| a - \sum_{i = 1}^{r} x_{i} u_{i} |}^{2}

とおく。

\begin{array}{l} f (x) \\ = (a - \sum_{i = 1}^{r} x_{i} u_{i}) \cdot (a - \sum_{i = 1}^{r} x_{i} u_{i}) \\ = a \cdot a - 2 a \cdot \sum_{i = 1}^{r} x_{i} u_{i} + (\sum_{i = 1}^{r} x_{i} u_{i}) \cdot (\sum_{i = 1}^{r} x_{i} u_{i}) \\ = {| a |}^{2} - 2 \sum_{i = 1}^{r} x_{i} (a \cdot u_{i}) + \sum_{i = 1}^{r} x_{i}^{2} {| u_{i} |}^{2} \\ = {| a |}^{2} - 2 \sum_{i = 1}^{r} x_{i} (a \cdot u_{i}) + \sum_{i = 1}^{r} x_{i}^{2} \\ = \sum_{i = 1}^{r} (x_{i}^{2} - 2 x_{i} (a \cdot u_{i})) + {| a |}^{2} \end{array}

また、

| a - \sum_{i = 1}^{r} x_{i} u_{i} |

が最小となるのは

f (x)

が最小となるときで、それは

\begin{array}{l} \sum_{i = 1}^{r} (x_{i}^{2} - 2 x_{i} (a \cdot u_{i})) \\ = \sum_{i = 1}^{r} ({(x_{i} - (a \cdot u_{i}))}^{2} - {(a \cdot u_{i})}^{2}) \end{array}

が最小となるときである。

よって、

\begin{array}{l} x_{i} = a \cdot u_{i} \\ (i = 1, \dots, r) \end{array}

のとき最小となる。

（証明終）