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多変数の関数極値問題実n次元空間、ノルム、級数の和、最小点

解析入門(中)
(松坂和夫数学入門シリーズ 5)
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学習環境

解析入門(中) (松坂和夫数学入門シリーズ 5) (松坂和夫 (著)、岩波書店)の第14章(多変数の関数)、14.3(極値問題)、問題4の解答を求めてみる。

\begin{array}{l} \sum_{i = 1}^{r} {| x - a_{i} |}^{2} \\ = \sum_{i = 1}^{r} (x - a_{i}) \cdot (x - a_{i}) \\ = \sum_{i = 1}^{r} (x \cdot x - 2 (a_{i} \cdot x) + {| a_{i} |}^{2}) \\ = r | x | - 2 (\sum_{i = 1}^{r} a_{i} \cdot x) + \sum_{i = 1}^{r} {| a_{i} |}^{2} \\ = r {| x - \frac{1}{r} \sum_{i = 1}^{r} a_{i} |}^{2} - \frac{1}{r} {| \sum_{i = 1}^{r} a_{i} |}^{2} + \sum_{i = 1}^{r} {| a_{i} |}^{2} \end{array}

よって、これが最小となる点は、

\begin{array}{l} {| x - \frac{1}{r} \sum_{i = 1}^{r} a_{i} |}^{2} = 0 \\ x = \frac{1}{r} \sum_{i = 1}^{r} a_{i} \end{array}