数学のブログ

多変数の関数 極値問題 周の長さが一定である三角形の面積が最大となる場合、正三角形、コンパクト、連続、臨界点

解析入門(中) (松坂和夫 数学入門シリーズ 5) (松坂 和夫 (著)、岩波書店)の第14章(多変数の関数)、14.3(極値問題)、問題5の解答を求めてみる。

z = 2 s - ( x + y ) f ( x , y ) = S 2 = s ( s - x ) ( s - y ) ( s - ( 2 s - ( x + y ) ) = s ( s - x ) ( s - y ) ( x + y - s )

が最大となる場合を求めればいい。

臨界点を求める。

∂ f ∂ x = - s ( s - y ) ( x + y - s ) + s ( s - x ) ( s - y ) = s ( s - y ) ( s - x - x - y + s ) = s ( s - y ) ( 2 s - 2 x - y ) ∂ f ∂ y = s ( s - x ) ( 2 s - 2 y - x ) { 2 s - 2 x - y = 0 2 s - 2 y - x = 0 y = 2 s - 2 x 2 s - 4 s + 4 x - x = 0 x = 2 3 s y = 2 s - 4 3 s = 2 3 s

また、

x > s

と仮定すると、

f ( x , y ) > 0 s - x < 0 x + y - s > 0 s - y < 0 s < y 2 s < x + y

となり矛盾。

yも同様にして考え、

0 ≤ x ≤ s 0 ≤ y ≤ s { ( x , y ) ∈ ℝ 2 | 0 ≤ x ≤ s ∧ 0 ≤ y ≤ s }

の範囲でのfの値を考える。

これはコンパクトな集合で、fは連続なので、 最大点をもつ。

また、境界上では

f ( x , y ) = 0

で内部では

f ( x , y ) > 0

なので、 内部に最大点がある。

よって、最初に求めた臨界点は最大点である。

ゆえに、

x = 2 3 s , y = 2 3 s , z = 2 s - ( x + y ) = 2 3 s

のとき、すなわち 正三角形のとき面積は最大となる。

（証明終）

コード(Wolfram Language, Jupyter)

s = 3

3
Plot3D[s(s-x)(s-y)(x+y-s), {x, 0, s}, {y, 0, s},
       PlotRange -> {0, s},
       AxesLabel -> Automatic]
Output