合成微分律と勾配ベクトルさらに偏微分の計算について関数の和、等式の証明

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続解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂和夫(翻訳)、片山孝次(翻訳)、岩波書店)の第4章(合成微分律と勾配ベクトル)、5(さらに偏微分の計算について)の練習問題10の解答を求めてみる。

\frac{\partial z}{\partial t} = \frac{\partial f}{\partial u} c - \frac{\partial g}{\partial v} c

\frac{\partial^{2} z}{\partial t^{2}} = \frac{\partial^{2} f}{\partial u^{2}} c^{2} + \frac{\partial^{2} r}{\partial v^{2}} o^{2}

\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial u} + \frac{\partial g}{\partial v}

\frac{\partial z}{\partial x^{2}} = \frac{\partial^{2} f}{\partial u^{2}} + \frac{\partial^{2} g}{\partial v^{2}}

よって、

\frac{\partial z^{2}}{\partial t^{2}} = c^{2} \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} = c^{2} (f'' (u) + g'' (v))