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合成微分律と勾配ベクトル さらに偏微分の計算について 調和的な関数、波動の理論、調和関数、極座標、三角関数、正弦と余弦、倍角

続 解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4章(合成微分律と勾配ベクトル)、5(さらに偏微分の計算について)の練習問題14の解答を求めてみる。

a

∂ g ∂ r = n r n - 1 cos n θ ∂ 2 g ∂ r 2 = n ( n - 1 ) r n - 2 cos n θ ∂ g ∂ θ = - r n n sin n θ ∂ 2 g ∂ θ 2 = - r n n 2 cos n θ ∂ g ∂ r + 1 r ∂ 2 g ∂ r 2 + 1 r 2 ∂ 2 g ∂ θ 2 = ( n ( n - 1 ) r n - 2 + n r n - 2 - r n - 2 n 2 ) cos n θ = 0

b

∂ g ∂ r = n r n - 1 sin n θ ∂ 2 g ∂ r 2 = n ( n - 1 ) r n - 2 sin n θ ∂ g ∂ θ = r n n cos n θ ∂ 2 g ∂ θ 2 = - r n n 2 sin n θ ∂ 2 g ∂ r 2 + 1 r ∂ g ∂ r + 1 r 2 ∂ 2 g ∂ θ 2 = n ( ( n - 1 ) r n - 2 + r n - 2 - n r n - 2 ) sin n θ = 0

コード(Wolfram Language, Jupyter)

Table[
    Plot3D[
        r^n Cos[n θ],
        {r, 0, 5},
        {θ, -2Pi, Pi},
        AxesLabel -> Automatic
    ],
    {n, 1, 5}
] // Column
Output
Table[
    Plot3D[
        r^n Sin[n θ],
        {r, 0, 5},
        {θ, -2Pi, Pi},
        AxesLabel -> Automatic
    ],
    {n, 1, 5}
] // Column
Output