合成微分律と勾配ベクトル さらに偏微分の計算について 極座標によるラプラス作用子、波動の理論 続 解析入門 (原書第2版) 楽天ブックス Yahoo!ショッピング au PAY マーケット 原著: Calculus of Several Variables 学習環境 Surface Windows 10 Pro (OS) Nebo(Windows アプリ) iPad MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iPadOS)) ハンズ・オン・スタートMathematica® -Wolfram言語™によるプログラミング(参考書籍) Pythonからはじめる数学入門(参考書籍) 続 解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4章(合成微分律と勾配ベクトル)、5(さらに偏微分の計算について)の練習問題13の解答を求めてみる。 ∂ g ∂ r = ∂ f ∂ x cos θ + ∂ f ∂ y sin θ ∂ 2 g ∂ r 2 = ( ∂ 2 f ∂ x 2 cos θ + ∂ 2 f ∂ x ∂ y sin θ ) cos θ + ( ∂ 2 f ∂ x ∂ y cos θ + ∂ 2 f ∂ y 2 sin θ ) sin θ = ∂ 2 f ∂ x 2 cos 2 θ + 2 ∂ 2 f ∂ x ∂ y sin θ cos θ + ∂ 2 f ∂ y 2 sin 2 θ ∂ g ∂ θ = - ∂ f ∂ x r sin θ + ∂ f ∂ y r cos θ ∂ 2 g ∂ θ 2 = - ∂ ∂ θ ( ∂ f ∂ x r ) sin θ - ∂ f ∂ x r cos θ + ∂ ∂ θ ( ∂ f ∂ y r ) cos θ - ∂ f ∂ y r sin θ = ( ∂ 2 f ∂ x 2 r sin θ - ∂ 2 f ∂ x ∂ y r cos θ ) r sin θ + ( - ∂ 2 f ∂ x ∂ y r sin θ + ∂ 2 f ∂ y 2 r cos θ ) r cos θ - ∂ f ∂ x r cos θ - ∂ f ∂ y r sin θ = r 2 ( ∂ 2 f ∂ x 2 sin 2 θ - 2 ∂ 2 f ∂ x ∂ y sin θ cos θ + ∂ 2 f ∂ y 2 cos 2 θ ) - r ( ∂ f ∂ x cos θ + ∂ f ∂ y sin θ ) よって、 ∂ 2 g ∂ r 2 + 1 r ∂ g ∂ r + 1 r 2 ∂ 2 g ∂ θ 2 = ∂ 2 f ∂ x 2 ( cos 2 θ + sin 2 θ ) + ∂ 2 f ∂ y 2 ( sin 2 θ + cos 2 θ ) + ∂ 2 f ∂ x ∂ y ( 2 sin θ cos θ - 2 sin θ cos θ ) + ∂ f ∂ x ( 1 r cos θ - 1 r cos θ ) + ∂ f ∂ y ( 1 r sin θ - 1 r sin θ ) = ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2
