合成微分律と勾配ベクトルさらに偏微分の計算について三角関数、正弦と余弦

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続解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂和夫(翻訳)、片山孝次(翻訳)、岩波書店)の第4章(合成微分律と勾配ベクトル)、5(さらに偏微分の計算について)の練習問題7の解答を求めてみる。

\begin{array}{l} \frac{\partial g}{\partial u} = \frac{\partial f}{\partial x} \cos θ + \frac{\partial f}{\partial y} \sin θ \\ \frac{\partial g}{\partial v} = - \frac{\partial f}{\partial x} \sin θ + \frac{\partial f}{\partial y} \cos θ \end{array}

よって、

\begin{array}{l} {(\frac{\partial g}{\partial u})}^{2} + {(\frac{\partial g}{\partial v})}^{2} \\ = {(\frac{\partial f}{\partial x})}^{2} (\cos^{2} θ + \sin^{2} θ) + {(\frac{\partial f}{\partial y})}^{2} (\sin^{2} θ + \cos^{2} θ) \\ = {(\frac{\partial f}{\partial x})}^{2} + {(\frac{\partial f}{\partial y})}^{2} \end{array}