数学のブログ

合成微分律と勾配ベクトル さらに偏微分の計算について 三角関数、正弦と余弦、内積

続 解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4章(合成微分律と勾配ベクトル)、5(さらに偏微分の計算について)の練習問題8の解答を求めてみる。

a

∂ z ∂ r = g r a d f ( x , y ) · ( cos θ , sin θ ) = ∂ f ∂ x cos θ + ∂ f ∂ y sin θ
1 r ∂ z ∂ θ = 1 r ( ∂ f ∂ x ( - r sin θ ) + ∂ f ∂ y r cos θ ) = - ∂ f ∂ x sin θ + ∂ f ∂ y cos θ

b

∂ g ∂ r = ∂ f ∂ x cos θ + ∂ f ∂ y sin θ ∂ g ∂ θ = - ∂ f ∂ x r sin θ + ∂ f ∂ y r cos θ
( ∂ g ∂ r ) 2 + 1 r 2 ( ∂ r ∂ θ ) 2 = ( ∂ f ∂ x ) 2 cos 2 θ + 2 ∂ f ∂ x ∂ f ∂ y sin θ cos θ + ( ∂ f ∂ y ) 2 sin 2 θ + ( ∂ f ∂ x ) 2 sin 2 θ - 2 ∂ f ∂ x ∂ f ∂ y sin θ cos θ + ( ∂ f ∂ y ) 2 cos 2 θ = ( ∂ f ∂ x ) 2 + ( ∂ f ∂ y ) 2