合成微分律と勾配ベクトルさらに偏微分の計算について三角関数、倍角、等式の証明

学習環境

続解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂和夫(翻訳)、片山孝次(翻訳)、岩波書店)の第4章(合成微分律と勾配ベクトル)、5(さらに偏微分の計算について)の練習問題9の解答を求めてみる。

a = x + c t

とおくと、

\begin{array}{l} z = \sin a + \cos 2 a \\ \frac{\partial z}{\partial a} = \cos a - 2 \sin 2 a \end{array}

\frac{\partial z}{\partial t} = \frac{\partial z}{\partial a} \frac{\partial a}{\partial t} = (\cos a - 2 \sin 2 a) c

\begin{array}{l} \frac{\partial^{2} z}{\partial t^{2}} = \frac{\partial}{\partial t} ((\cos a - 2 \sin 2 a) c) \\ = (- \sin a - 4 \cos 2 a) c^{2} \\ = - c^{2} (\sin a + 4 \cos 2 a) \end{array}

\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial a} \frac{\partial a}{\partial x} = (\cos a - 2 \sin 2 a)

\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} = - \sin a - 4 \cos 2 a = - (\sin a + 4 \cos 2 a)

よって、

\frac{\partial^{2} z}{\partial t^{2}} = c^{2} \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}

コード(Wolfram Language, Jupyter)

Manipulate[
    Plot3D[Sin[x + c t] + Cos[2x + 2 c t],
           {x, -2 Pi, 2 Pi},
           {t, -2 Pi, 2 Pi}],
    {c, -5, 5}
]