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ポテンシャル関数 2-空間における開集合、偏導関数、ベクトル場、ポテンシャル関数を持つかどうかの判定

続 解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第5章(ポテンシャル関数)、2(ポテンシャル関数)の練習問題1、2、3、4、5、6の解答を求めてみる。

1

∂ ∂ y ( 1 x ) = 0 ∂ ∂ x ( x e x y ) = e x y + x y e x y

よってポテンシャル関数をもたない。

2

∂ ∂ y sin ( x y ) = x cos ( x y ) ∂ ∂ x cos ( x y ) = - y sin ( x y )

よってポテンシャル関数をもたない。

3

∂ ∂ y e x y = x e x y ∂ ∂ x e x + y = e x + y

よってポテンシャル関数をもたない。

4

∂ ∂ y ( 3 x 4 y 2 ) = 6 x 4 y ∂ ∂ x ( x 3 y ) = 3 x 2 y

よってポテンシャル関数をもたない。

5

∂ ∂ y ( 5 x 4 y ) = 5 x 4 ∂ ∂ x ( x cos ( x y ) ) = cos ( x y ) - x y sin ( x y )

よってポテンシャル関数をもたない。

6

∂ ∂ y x x 2 + y 2 = - x x 2 + y 2 · y x 2 + y 2 ∂ ∂ x ( 3 x y 2 ) = 3 y 2

よってポテンシャル関数をもたない。

コード(Wolfram Language, Jupyter)

VectorPlot[{1/x,  x Exp[x y]}, {x, -5, 5}, {y, -5, 5}]
Output
VectorPlot[{Sin[x y], Cos[x y]}, {x, -5, 5}, {y, -5, 5}]
Output
VectorPlot[{Exp[x y], Exp[x + y]}, {x, -5, 5}, {y, -5, 5}]
Output
VectorPlot[{3 x^4 y^2, x^3 y}, {x, -5, 5}, {y, -5, 5}]
Output
VectorPlot[{5x^4 y, x Cos[x y]}, {x, -5, 5}, {y, -5, 5}]
Output
VectorPlot[{x / Sqrt[x^2+y^2], 3 x y^2}, {x, -5, 5}, {y, -5, 5}]
Output