ポテンシャル関数保存律一般化、ベクトル場、距離、累乗、反比例、対数関数、累乗の逆数、合成微分

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続解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂和夫(翻訳)、片山孝次(翻訳)、岩波書店)の第5章(ポテンシャル関数)、1(保存律)の練習問題3の解答を求めてみる。

k = 2

のとき、

φ (X) = \log r

とおけば、

g r a d φ (X) = \frac{1}{r} \cdot \frac{X^{\cdot}}{r} = \frac{X}{r^{2}} = F (X)

となりポテンシャル関数である。

k \neq 1

のとき、

g r a d \frac{X}{r^{n}} = - \frac{n r^{n - 1}}{r^{2 n}} \cdot \frac{X}{r} = - \frac{n X}{r^{n + 2}}

ということで

φ (X) = - \frac{X}{(k - 2) r^{k - 2}}

とおけば、

(g r a d φ) (X) = \frac{1}{k - 2} \frac{(k - 2) r^{k - 3}}{r^{2 (k - 2)}} \cdot \frac{X}{r} = \frac{X}{r^{k}} = F (X)

なのでポテンシャル関数である。