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ポテンシャル関数 保存律 ベクトル場、力の場、原点との距離、反比例、向き、位置ベクトル

続 解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第5章(ポテンシャル関数)、1(保存律)の練習問題1の解答を求めてみる。

k 1 ∥ X ∥ X ∥ X ∥ = k X ∥ X ∥ 2 = k X r 2 = ( g r a d φ ) ( X )

(k は 定数。）

を満たす関数がポテンシャル関数。

φ ( X ) = k log ∥ X ∥ = k log r

とおくと、

( g r a d φ ) ( X ) = k X ∥ X ∥

よって ポテンシャル関数である。

コード(Wolfram Language, Jupyter)

VectorPlot[1/Norm[{x, y}]^2{x, y},
           {x, -5, 5}, {y, -5, 5},
           VectorPoints -> Coarse]
Output