数学のブログ

ポテンシャル関数 保存律 ベクトル場、力の場、原点との距離の立方、反比例、向き、位置ベクトル

続 解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第5章(ポテンシャル関数)、1(保存律)の練習問題2の解答を求めてみる。

k 1 ∥ X ∥ 3 · X ∥ X ∥ = ( g r a d φ ) ( X ) k X ∥ X ∥ 4 = ( g r a d φ ) ( X )

(kは定数）

を満たす関数が問題の力の場のポテンシャル関数。

φ ( X ) = - k 2 ∥ X ∥ 2

とおくと、

( g r a d φ ) ( X ) = k - 2 ∥ X ∥ 3 2 ∥ X ∥ 4 X ∥ X ∥ = k X ∥ X ∥ 2

なので、これはポテンシャル関数である。

コード(Wolfram Language, Jupyter)

VectorPlot3D[{x, y, z}/Norm[{x, y, z}]^4,
             {x, -5, 5},
             {y, -5, 5},
             {z, -5, 5},
             VectorPoints -> Coarse]
Output