ポテンシャル関数ポテンシャル関数の局所的存在 3-空間における開集合、ベクトル場、座標関数、回転、発散量

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続解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂和夫(翻訳)、片山孝次(翻訳)、岩波書店)の第5章(ポテンシャル関数)、3(ポテンシャル関数の局所的存在)の練習問題15の解答を求めてみる。

\begin{array}{l} d i v c u r l F \\ = \frac{\partial^{2} f_{3}}{\partial x_{1} \partial x_{2}} - \frac{\partial^{2} f_{2}}{\partial x_{1} \partial x_{3}} + \frac{\partial^{2} f_{1}}{\partial x_{2} \partial x_{3}} - \frac{\partial^{2} f_{3}}{\partial x_{2} \partial x_{1}} + \frac{\partial^{2} f_{2}}{\partial x_{3} \partial x_{1}} - \frac{\partial^{2} f_{1}}{\partial x_{3} \partial x_{2}} \\ = 0 \end{array}

\begin{array}{l} c u r l (g r a d φ) = c u r l (D_{1} φ, D_{2} φ, D_{3} φ) \\ = (D_{2} D_{3} φ - D_{3} D_{2} φ, D_{3} D_{1} φ - D_{1} D_{3} φ, D_{1} D_{2} φ - D_{2} D_{1} φ) \\ = (0, 0, 0) \\ = O \end{array}