ポテンシャル関数ポテンシャル関数の局所的存在逆正接関数、定義域、長方形、勾配ベクトル

学習環境

続解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂和夫(翻訳)、片山孝次(翻訳)、岩波書店)の第5章(ポテンシャル関数)、3(ポテンシャル関数の局所的存在)の練習問題14の解答を求めてみる。

\begin{array}{l} \frac{\partial}{\partial x} \arctan (\frac{y}{x}) = \frac{1}{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}} \cdot (- \frac{y}{x^{2}}) \\ = - \frac{y}{x^{2} + y^{2}} \\ \frac{\partial}{\partial y} \arctan (\frac{y}{x}) = \frac{1}{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}} \cdot \frac{1}{x} \\ = \frac{x}{x^{2} + y^{2}} \end{array}

よって、求める勾配ベクトルは、

g r a d φ (x, y) = \frac{1}{x^{2} + y^{2}} (- y, x)

コード、入出力結果(Wolfram Language, Jupyter)

Plot3D[ArcTan[y, x], {x, -5, 5}, {y, -5, 5}]