ポテンシャル関数ポテンシャル関数の局所的存在指数関数、三角関数、正弦と余弦、累乗、偏導関数

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続解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂和夫(翻訳)、片山孝次(翻訳)、岩波書店)の第5章(ポテンシャル関数)、3(ポテンシャル関数の局所的存在)の練習問題10の解答を求めてみる。

\begin{array}{l} D_{1} (x e^{x y}) = e^{x y} + x y e^{x y} \\ D_{2} (y e^{x y}) = e^{x y} + x y e^{x y} \end{array}

よってポテンシャル関数をもつ。

\int y e^{x y} dx = e^{x y}

φ (x, y) = e^{x y}

とおく。

\frac{\partial}{\partial y} φ (x, y) = x e^{x y}

よって、これはポテンシャル関数である。

\begin{array}{l} D_{1} (x \cos (x y)) = \cos (x y) - x y \sin (x y) \\ D_{2} (y \cos (x y)) = \cos (x y) - x y \sin (x y) \end{array}

\int y \cos (x y) dx = \sin (x y)

φ (x, y) = \sin (x y)

とおくと、

g r a d φ (x, y) = (y \cos (x y), x \cos (x y))

よってポテンシャル関数である。

\begin{array}{l} D_{1} (x^{2} \cos (x^{2} y)) = 2 x \cos (x^{2} y) - 2 x^{3} y \sin (x^{2} y) \\ D_{2} (2 x y \cos (x^{2} y)) = 2 x \cos (x^{2} y) - 2 x^{3} y \sin (x^{2} y) \end{array}

よってポテンシャル関数をもつ。

\int 2 x y \cos (x^{2} y) dx = \sin (x^{2} y)

φ (x, y) = \sin (x^{2} y)

とおくと、

g r a d φ (x, y) = (2 x y \cos (x^{2} y), x^{2} \cos (x^{2} y))

よってこれはポテンシャル関数である。

コード、入出力結果(Wolfram Language, Jupyter)

VectorPlot[{y Exp[x y], x Exp[x y]}, {x, -2, 2}, {y, -2, 2}]

VectorPlot[{y Cos[x y], x Cos[x y]}, {x, -5, 5}, {y, -5, 5}]

VectorPlot[{2 x y Cos[x^2 y], x^2 Cos[x^2 y]}, {x, -5, 5}, {y, -5, 5}]