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ポテンシャル関数ポテンシャル関数の局所的存在原点との距離、合成関数、偏微分、勾配

続解析入門 (原書第2版)
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原著: Calculus of Several Variables

学習環境

続解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂和夫(翻訳)、片山孝次(翻訳)、岩波書店)の第5章(ポテンシャル関数)、3(ポテンシャル関数の局所的存在)の練習問題11の解答を求めてみる。

f_{i} (X) = \frac{g' (r)}{r} x_{i}

とおく。

\begin{array}{l} i \neq j \\ D_{i} f_{j} (X) = \frac{g'' (r) - g' (r)}{r^{2}} \cdot \frac{x_{i}}{r} x_{j} \\ D_{j} f_{i} (X) = \frac{g' (r) - g' (r)}{r^{2}} \frac{x_{j}}{r} x_{i} \end{array}

よって、

D_{i} f_{j} = D_{j} f_{i}

ゆえに問題のベクトル場は、領域

X \neq O

においてポテンシャル関数をもつ。

g r a dg (r) = g' (r) \frac{X}{r}

よって、ポテンシャル関数は、

φ (X) = g (∥ X ∥) = g (r)