数学のブログ

ポテンシャル関数 ポテンシャル関数の局所的存在 原点からの距離、勾配ベクトル、ベクトル場

続 解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第5章(ポテンシャル関数)、3(ポテンシャル関数の局所的存在)の練習問題5の解答を求めてみる。

a

φ ( r ) = r g r a d φ ( r ) = X ∥ X ∥ = X r = F ( X )

よって、これがポテンシャル関数。

b

φ ( r ) = log r g r a d φ ( r ) = 1 r · X r = X r 2 = F ( X )

よって、これがポテンシャル関数。

c

n = - 1

の ときはa、

n = - 2

のときはb。

r ∈ ℤ \ { - 1 , 2 }

の場合。

φ k ( r ) = r k g r a d φ k ( r ) = k r k - 1 · X r = k r k - 2 X

よって、

n ≠ - 2

の場合、

φ ( X ) = 1 n + 2 r n + 2

とおけば、

g r a d φ ( X ) = n + 2 n + 2 r n + 1 · X r = r n X = F ( X )

となり、 ポテンシャル関数である。

コード、入出力結果(Wolfram Language, Jupyter)

v = {x, y}

{x, y}
r = Norm[v]
Output
VectorPlot[1/r v, {x, -5, 5}, {y, -5, 5}]
Output
VectorPlot[1/r^2 v, {x, -5, 5}, {y, -5, 5}]
Output
VectorPlot[r^2 v, {x, -5, 5}, {y, -5, 5}]
Output
r = {x, y, z}

{x, y, z}
v = Norm[r]
Output
VectorPlot3D[v/r, {x, -2, 2}, {y, -2, 2}, {z, -2, 2}]
Output
VectorPlot3D[v/r^2, {x, -2, 2}, {y, -2, 2}, {z, -2, 2}]
Output
VectorPlot3D[r^2 v, {x, -2, 2}, {y, -2, 2}, {z, -2, 2}]
Output