ポテンシャル関数ポテンシャル関数の局所的存在偏導関数、積分

学習環境

続解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂和夫(翻訳)、片山孝次(翻訳)、岩波書店)の第5章(ポテンシャル関数)、3(ポテンシャル関数の局所的存在)の練習問題6の解答を求めてみる。

\begin{array}{l} \frac{d}{dx} 2 x^{2} = 4 x \\ \frac{d}{dy} 4 x y = 4 x \end{array}

よって、ポテンシャル関数をもつ。

\int 4 x y dy = 2 x^{2} y

よってポテンシャル関数は、

φ (x, y) = 2 x^{2} y + ψ (y)

という形に書かれる。

また、

\frac{\partial}{\partial y} 2 x^{2} y = 2 x^{2}

なので、ポテンシャル関数は、

φ (x, y) = 2 x^{2} y

実際に確認。

g r a d φ (x, y) = (4 x y, 2 x^{2})

コード、入出力結果(Wolfram Language, Jupyter)

VectorPlot[{4 x y, 2 x^2}, {x, -10, 10}, {y, -10, 10}]