数学のブログ

ポテンシャル関数 ポテンシャル関数の局所的存在 三角関数、正弦と余弦、累乗、積、偏導関数、積分

続 解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第5章(ポテンシャル関数)、3(ポテンシャル関数の局所的存在)の練習問題7、8、9の解答を求めてみる。

7

d dx x 2 cos ( x y ) = 2 x cos ( x y ) - x 2 y sin ( x y ) d dy ( x y cos ( x y ) + sin ( x y ) ) = x cos ( x y ) - x 2 y sin ( x y ) + x cos ( x y ) = 2 x cos ( x y ) - x 2 y sin ( x y )

よって、 ポテンシャル関数をもつ。

∫ x 2 cos ( x y ) dy = x sin ( x y )
φ ( x , y ) = x sin ( x y )

とおくと、

g r a d φ ( x , y ) = ( x y sin ( x y ) + sin ( x , y ) , x 2 cos ( x y ) )

よってポテンシャル問数である。

8

∫ 3 x 2 y 2 dx = x 3 y 2
φ ( x , y ) = x 3 y 2

とおくと、

g r a d φ ( x , y ) = ( 3 x 2 y 2 , 2 x 3 y )

よってポテンシャル関数である。

9

∫ 2 x dx = x 2
φ ( x , y ) = x 2 + ψ ( y )

とおく。

∂ ∂ y φ ( x , y ) = ∂ ∂ y ψ ( y ) = 4 y 3

て海たす開放は

ψ ( y ) = y 4

よって、 求めるポテンシャル関数は、

φ ( x , y ) = x 2 + y 4

コード、入出力結果(Wolfram Language, Jupyter)

VectorPlot[{x y Cos[x y] + Sin[x y], x^2 Cos[x y]}, {x, -5, 5}, {y, -5, 5}]
Output
VectorPlot[{3x^2 y^2, 2x^3 y}, {x, -5, 5}, {y, -5, 5}]
Output
VectorPlot[{2x, 4y^3}, {x, -5, 5}, {y, -5, 5}]
Output