数学のブログ

ポテンシャル関数 ポテンシャル関数の局所的存在 ポテンシャル関数をもつかどうか、偏微分

続 解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第5章(ポテンシャル関数)、3(ポテンシャル関数の局所的存在)の練習問題1、2、3、4の解答を求めてみる。

1

D 1 ( sin x y ) = y cos x y D 2 e x = 0

ポテンシャル関数をもたない。

2

D 1 y 3 = 0 D 2 ( 2 x 2 y ) = 2 x 2

ポテンシャル関数をもたない。

3

D 1 y 2 = 0 D 2 ( 2 x y ) = 2 x

ポテンシャル関数をもたない。

4

D 1 ( x + y 4 ) = 1 D 2 ( y 2 x 2 ) = 2 x 2 y

ポテンシャル関数ともたない。

コード(Wolfram Language, Jupyter)

VectorPlot[{Exp[x], Sin[x y]}, {x, -5, 5}, {y, -5, 5}]
Output
VectorPlot[{2x^2y, y^3}, {x, -5, 5}, {y, -5, 5}]
Output
VectorPlot[{2 x y, y^2}, {x, -5, 5}, {y, -5, 5}]
Output
VectorPlot[{y^2x^2, x+y^4}, {x, -5, 5}, {y, -5, 5}]
Output