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ポテンシャル関数 ポテンシャル関数の局所的存在 ベクトル場、偏微分、条件下

続 解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第5章(ポテンシャル関数)、3(ポテンシャル関数の局所的存在)の練習問題12の解答を求めてみる。

D 1 f 2 ( x , y ) = 3 x 2 + 4 y D 2 f 1 ( x , y ) = 3 x 2 + 4 y

よって 問題のベクトル場はポテンシャル関数をもつ。

∫ ( 3 x 2 y + 2 y 2 ) dx = x 3 y + 2 x y 2
φ ( x , y ) = x 3 y + 2 x y 2 + ψ ( y )

とおく。

d dy φ ( x , y ) = x 3 + 4 x y - 1

を解く。

x 3 + 4 x y + d dy ψ ( y ) = x 3 + 4 x y - 1 d dy ψ ( y ) = - 1 ψ ( y ) = - y + c

cは定数。

よって、

φ ( x , y ) = x 3 y + 2 x y 2 - y + c

条件

φ ( 1 , 1 ) = 4

より、

1 + 2 - 1 + c = 4 c = 2

よって、 求めるポテンシャル関数は、

φ ( x , y ) = x 3 + 4 x y - y + 2

コード、入出力結果(Wolfram Language, Jupyter)

VectorPlot[{3x^2y+2y^2,x^3+4x y - 1}, {x, -10, 10}, {y, -10, 10}]
Output
Plot3D[x^3y+2x y^2-y, {x, -10, 10}, {y, -10, 10}]
Output
Plot3D[x^3y+2x y^2-y + 2, {x, -10, 10}, {y, -10, 10}]
Output