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ポテンシャル関数 とくに重要なベクトル場 偏導関数

続 解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第5章(ポテンシャル関数)、4(とくに重要なベクトル場)の練習問題1の解答を求めてみる。

D 2 f = - ( x 2 + y 2 ) + y ( 2 y ) ( x 2 + y 2 ) 2 = - x 2 + y 2 ( x 2 + y 2 ) 2
D 1 g = ( x 2 + y 2 ) - x ( 2 x ) ( x 2 + y 2 ) 2 = - x 2 + y 2 ( x 2 + y 2 ) 2

よって、

D 2 f = D 1 g

コード、入出力結果(Wolfram Language、Jupyter)

VectorPlot[{-y / (x^2+y^2), x/(x^2+y^2)}, {x, 0.5, 2}, {y, 0.5, 2}
           ]
Output