数学のブログ

行列式 連立1次方程式と行列式 クラメルの公式、背理法

線形代数演習〈理工系の数学入門コース/演習 新装版〉 (浅野 功義(著)、大関 清太(著)、岩波書店)の第3章(行列式)、3-1(連立1次方程式と行列式)、問題4の解答を求めてみる。

{a1x+b1y+c1=0a2x+b2y+c2=0a3x+b3y+c3=0

が解もつとし、 その解を

x=x0y=y0

とする。

このとき、

{a1x+b1y+c1·1=0a2x+b2y+c2·1=0a3x+b3y+c3·1=0

を考えれば、

{a1x+b1y+c1z=0a2x+b2y+c2z=0a3x+b3y+c3z=0

の解は、

x=x0y=y0z=1

である。

det[a1b1c1a2b2c2a3b3c3]0

と仮定すると、 zの解は

z=det[a1b10a2b20a3b30]det[a1b1c1a2b2c2a3b3c3]=0

となり矛盾。

よって、

det[a1b1c1a2b2c2a3b3c3]=0

である。

(証明終)