複素関数とその微分複素数の関数 1次分数変換、合成変換

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複素関数演習〈理工系の数学入門コース/演習新装版〉 (表実(著)、迫田誠治(著)、岩波書店)の第2章(複素関数とその微分)、2-1(複素数の関数)、問題4の解答を求めてみる。

f_{21} (z) = f_{2} (f_{1} (z))

= \frac{α_{2} \frac{α_{1} z + β_{1}}{γ_{1} z + δ_{1}} + β_{2}}{γ_{2} \cdot \frac{α_{1} z + β_{1}}{γ_{1} z + δ_{1}} + δ_{2}}

= \frac{α_{2} (α_{1} z + β_{1}) + β_{2} (γ_{1} z + δ_{1})}{γ_{2} (α_{1} z + β_{1}) + δ_{2} (γ_{1} z + δ_{1})}

= \frac{(α_{1} α_{2} + β_{2} γ_{1}) z + (α_{2} β_{1} + β_{2} δ_{1})}{(α_{1} γ_{2} + δ_{2} γ_{1}) z + (β_{1} γ_{2} + δ_{1} δ_{2})}

f_{12} (z) = f_{1} (f_{2} (z))

= \frac{α_{1} \cdot \frac{α_{2} z + β_{2}}{γ_{2} z + δ_{2}} + β_{1}}{γ_{1} \cdot \frac{α_{2} z + β_{2}}{γ_{2} z + δ_{2}} + δ_{1}}

= \frac{α_{1} (α_{2} z + β_{2}) + β_{1} (γ_{2} z + δ_{2})}{γ_{1} (α_{2} z + β_{2}) + δ_{1} (γ_{2} z + δ_{2})}

= \frac{(α_{1} α_{2} + β_{1} γ_{2}) z + (α_{1} β_{2} + β_{1} δ_{2})}{(α_{2} γ_{1} + γ_{2} δ_{1}) z + (β_{2} γ_{1} + δ_{1} δ_{2})}

コード(Wolfram Language, Jupyter)

f1[z_] := (α1 z + β1) / (γ1 z + δ1)

f2[z_] := (α2 z + β2) / (γ2 z + δ2)

f2[f1[z]]

Simplify[%]

f1[f2[z]]

Simplify[%]