複素関数とその微分複素数の関数実部と虚部、オイラーの公式、三角関数、正弦と余弦

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複素関数演習〈理工系の数学入門コース/演習新装版〉 (表実(著)、迫田誠治(著)、岩波書店)の第2章(複素関数とその微分)、2-1(複素数の関数)、問題2の解答を求めてみる。

z^{n} = {(r e^{i θ})}^{n} = r^{n} e^{i n θ} = r^{n} (\cos n θ + i \sin n θ)

よって、

\begin{array}{l} u (r, θ) = r^{n} \cos n θ \\ v (r, θ) = r^{n} \sin n θ \end{array}

z^{\frac{1}{2}} = {(r e^{i θ})}^{\frac{1}{2}} = r^{\frac{1}{2}} (\cos (\frac{θ}{2} + k π) + i \sin (\frac{θ}{2} + k π)) (k = 0, 1)

\begin{array}{l} u (r, θ) = \pm r^{\frac{1}{2}} \cos \frac{θ}{2} \\ ν (r, θ) = \pm r^{\frac{1}{2}} \sin \frac{θ}{2} \end{array}

（複号同順）

\frac{1}{z + i} = \frac{1}{r e^{i θ} + i}

= \frac{1}{r (\cos θ + i \sin θ) + i}

= \frac{1}{r \cos θ + i (r \sin θ + 1)}

= \frac{r \cos θ - i (r \sin θ + 1)}{r^{2} \cos^{2} θ + {(r \sin θ + 1)}^{2}}

= \frac{r \cos θ - i (\sin θ + 1)}{r^{2} \cos^{2} θ + r^{2} \sin^{2} θ + 2 r \sin θ + 1}

= \frac{r \cos θ - i (\sin θ + 1)}{r^{2} + 2 r \sin θ + 1}

\begin{array}{l} u (r, θ) = \frac{r \cos θ}{r^{2} + 2 r \sin θ + 1} \\ v (r, θ) = - \frac{\sin θ + 1}{r^{2} + 2 r \sin θ + 1} \end{array}

z + \frac{1}{z} = r e^{i θ} + r^{- 1} e^{- i θ}

= (r \cos θ + r^{- 1} \cos (- θ)) + i (r \sin θ + r^{- 1} \sin (- θ))

\begin{array}{l} u (r, θ) = (r + r^{- 1}) \cos θ \\ v (r, θ) = (r - r^{- 1}) \sin θ \end{array}