数学のブログ

複素関数とその微分 複素数の関数 実部と虚部　複素平面

複素関数演習〈理工系の数学入門コース/演習 新装版〉 (表 実(著)、迫田 誠治(著)、岩波書店)の第2章(複素関数とその微分)、2-1(複素数の関数)、問題1の解答を求めてみる。

1

f ( z ) = ( x + i y ) + 1 x + i y
= x + i y + x - i y x 2 + y 2
= ( x + x x 2 + y 2 ) + ( y - y x 2 + y 2 ) i

よって、

u ( x , y ) = x + x x 2 + y 2 v ( x , y ) = y - y x 2 + y 2

2

u ( 1 , 1 ) = 1 + 1 2 = 3 2 v ( 1 , 1 ) = 1 - 1 2 = 1 2
u ( - 1 , 1 ) = - 1 - 1 2 = - 3 2 v ( - 1 , 1 ) = 1 - 1 2 = 1 2
u ( - 1 , - 1 ) = - 1 - 1 2 = - 3 2 v ( - 1 , - 1 ) = - 1 + 1 2 = - 1 2
u ( 1 , - 1 ) = 1 + 1 2 = 3 2 v ( 1 , - 1 ) = - 1 + 1 2 = - 1 2

コード(Wolfram Language, Jupyter)

f[z_] := z  + 1 / z

ComplexPlot[f[z], {z, -1-I, 1+I}]
Output
ComplexListPlot[
    Table[f[z],
          {z, {1+I, -1+I, -1-I, 1-I}}],
]
Output
Table[f[z], {z, {1+I, -1+I, -1-I, 1-I}}]
Output
u[x, y] := x + x / (x^2+y^2)

v[x, y] := x - y / (x^2+y^2)

Plot3D[u[x, y], {x, -1, 1}, {y, -1, 1}]
Output
Plot3D[v[x, y], {x, -5, 5}, {y, -5, 5}]
Output