行列 1次変換平面、直線、対称移動、原点、回転、相似比

線形代数演習
〈理工系の数学入門コース/演習新装版〉
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学習環境

線形代数演習〈理工系の数学入門コース/演習新装版〉 (浅野功義(著)、大関清太(著)、岩波書店)の第2章(行列)、2-2(1次変換)、問題3の解答を求めてみる。

f (\begin{matrix} x_{1} \\ y_{1} \end{matrix}) = (\begin{matrix} x_{2} \\ y_{2} \end{matrix})

\begin{array}{l} \frac{y_{1} + y_{2}}{2} = 2 \cdot \frac{x_{1} + x_{2}}{2} \\ 2 \cdot \frac{y_{1} - y_{2}}{x_{1} - x_{2}} = - 1 \end{array}

\begin{array}{l} y_{1} + y_{2} = 2 x_{1} + 2 x_{2} \\ 2 y_{1} - 2 y_{2} = - x_{1} + x_{2} \end{array}

\begin{array}{l} 4 y_{1} = 3 x_{1} + 5 x_{2} \\ x_{2} = - \frac{3}{5} x_{1} + \frac{4}{5} y_{1} \end{array}

y_{2} = 2 x_{1} - \frac{6}{5} x_{1} + \frac{8}{5} y_{1} - y_{1} = \frac{4}{5} x_{1} + \frac{3}{5} y_{1}

よって、求める平面の1次変換、対称移動は、

f (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = [\begin{matrix} - \frac{3}{5} x + \frac{4}{5} y \\ \frac{4}{5} x + \frac{3}{5} y \end{matrix}]

f (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = [\begin{matrix} x \cos \frac{π}{3} - y \sin \frac{π}{3} \\ x \sin \frac{π}{3} + y \cos \frac{π}{3} \end{matrix}] = [\begin{matrix} \frac{1}{2} x - \frac{\sqrt{3}}{2} y \\ \frac{\sqrt{3}}{2} x + \frac{1}{2} y \end{matrix}]

f (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 y \\ 3 y \end{matrix})

コード(Wolfram Language, Jupyter)

f[{x_, y_}] := {-3/5x + 4/5y, 4/5x + 3/5y}

points = RandomInteger[{-10, 10}, {10, 2}]

{{3, 2}, {-7, -10}, {10, 6}, {-8, -4}, {10, -9}, {-2, 4}, {10, 2}, {-3, 9}, {8, 8}, 
 
>   {-3, 7}}

ListPlot[{
    Table[f[point], {point, points}],
    Table[point, {point, points}],
    Table[{x, 2 x}, {x, -10, 10}]
}, AspectRatio -> {1, 1}, PlotStyle -> PointSize[Medium]]

f[{x_, y_}] := {x/2 - Sqrt[3]/2y, Sqrt[3]/2x + 1/2y}
ListPlot[{
    Table[point, {point, points}],
    Table[f[point], {point, points}]
}, AspectRatio -> {1, 1}, PlotStyle -> PointSize[Medium]]

f[{x_, y_}] := 3{x, y}
ListPlot[{
    Table[point, {point, points}],
    Table[f[point], {point, points}]
}, AspectRatio -> {1, 1}, PlotStyle -> PointSize[Medium]]