数学のブログ

行列 1次変換 定義、加法とスカラー倍、回転

線形代数演習〈理工系の数学入門コース/演習 新装版〉 (浅野 功義(著)、大関 清太(著)、岩波書店)の第2章(行列)、2-2(1次変換)、問題2の解答を求めてみる。

加法について。

f ( ( x 1 x 2 ) + ( y 1 y 2 ) ) = f ( x 1 + y 1 x 2 + y 2 )
= [ ( x 1 + y 1 ) cos θ - ( x 2 + y 2 ) sin θ ( x 1 + y 1 ) sin θ + ( x 2 + y 2 ) cos θ ]
= [ ( x 1 cos θ - x 2 sin θ ) + ( y 1 cos θ - y 2 sin θ ) ( x 1 sin θ + x 2 cos θ ) + ( y 1 sin θ + y 2 cos θ ) ]
= [ x 1 cos θ - x 2 sin θ x 1 sin θ + x 2 cos θ ] + [ y 1 cos θ - y 2 sin θ y 1 sin θ + y 2 cos θ ]
= f ( x 1 x 2 ) + f ( y 2 y 2 )

スカラ倍について。

f ( a ( x 1 x 2 ) ) = f ( a x 1 a x 2 )
= [ a x 1 cos θ - a x 2 sin θ a x 1 sin θ + a x 2 cos θ ]
= a [ x 1 cos θ - x 2 sin θ x 2 sin θ + x 2 cos θ ]
= a f ( x 1 x 2 )

コード(Wolfram Language, Jupyter)

f[{x_, y_}] := {x Cos[theta] - y Sin[theta], x Sin[theta] + y Cos[theta]}

f[{x1, x2} + {y1, y2}] == f[{x1, x2}] + f[{y1, y2}]
Output
Simplify[%]
Output
f[c{x, y}] == c f[{x, y}]
Output
Simplify[%]
Output