数学のブログ

行列 1次変換 一次独立、零ベクトルの像

線形代数演習〈理工系の数学入門コース/演習 新装版〉 (浅野 功義(著)、大関 清太(著)、岩波書店)の第2章(行列)、2-2(1次変換)、問題5の解答を求めてみる。

零ベクトルの1次変換の像について、

f ( O ) = f ( O + O ) = f ( O ) + f ( O )

よって、

f ( O ) = O
∑ k = 1 n c k x k = O

のとき、

O = f ( O ) = f ( ∑ k = 1 n c k x k ) = ∑ k = 1 n c k f ( x k )

問題の仮定より、

f ( x 1 ) , … , f ( x n )

は1次独立なので、

c k = 0 k = 1 , … , n

よって、

x 1 , … , x 1

は1次独立である。

（証明終）