行列行列の積と転置行列 3次正方行列、べき乗、3次巡回行列

学習環境

線形代数演習〈理工系の数学入門コース/演習新装版〉 (浅野功義(著)、大関清太(著)、岩波書店)の第2章(行列)、2-3(行列の積と転置行列)、問題1の解答を求めてみる。

P^{2} = [\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix}]

P^{3} = [\begin{matrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

[\begin{matrix} a_{0} & 0 & 0 \\ 0 & a_{0} & 0 \\ 0 & 0 & a_{0} \end{matrix}] + [\begin{matrix} 0 & a_{1} & 0 \\ 0 & 0 & a_{1} \\ a_{1} & 0 & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} 0 & 0 & a_{2} \\ a_{2} & 0 & 0 \\ 0 & a_{2} & 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} a_{0} & a_{1} & a_{2} \\ a_{2} & a_{0} & a_{n} \\ a_{1} & a_{2} & a_{0} \end{matrix}]

コード(Wolfram Language, Jupyter)

p={{0, 1, 0}, {0, 0, 1}, {1, 0, 0}}

{{0, 1, 0}, {0, 0, 1}, {1, 0, 0}}

% // TraditionalForm

p . p

{{0, 0, 1}, {1, 0, 0}, {0, 1, 0}}

% // TraditionalForm

Dot[p, p, p]

{{1, 0, 0}, {0, 1, 0}, {0, 0, 1}}

% // TraditionalForm

a0 Table[Table[If[j == i, 1, 0], {j, 3}], {i, 3}] + a1 p + a2 p . p

{{a0, a1, a2}, {a2, a0, a1}, {a1, a2, a0}}

% // TraditionalForm