数学のブログ

行列 行列の積と転置行列 三角行列、べき乗、帰納法

線形代数演習〈理工系の数学入門コース/演習 新装版〉 (浅野 功義(著)、大関 清太(著)、岩波書店)の第2章(行列)、2-3(行列の積と転置行列)、問題2の解答を求めてみる。

A n = A n - 1 A = [ a n - 1 b n - 1 0 c n - 1 ] [ a b 0 c ]
= [ a n - 1 b ∑ j = 1 n - 1 a n - 1 - j c j - 1 0 c n - 1 ] [ a b 0 c ]
= [ a n a n - 1 b + b ∑ j = 1 n - 1 a n - 1 - j c j 0 c n ]
= [ a n a n - 1 b + b ∑ j = 2 n a n - j c j - 1 0 c n ]
= [ a n b ( a n - 1 c 1 - 1 + ∑ j = 2 n a n - j c j - 1 ) 0 c n ]
= [ a n b ∑ j = 1 n a n - j c j - 1 0 c n ]

よって、 帰納法 により成り立つ。

（証明終）

コード(Wolfram Language, Jupyter)

b[n_] := b Sum[a^(n-j)c^(j-1), {j, 1, n}]

m = {{a, b}, {0, c}}
Output
Dot[m, m, m, m, m]
Output
Simplify[%]
Output
% == {{a^5, b[5]}, {0, c^5}}
Output
Dot[m, m, m, m, m] // Simplify // TraditionalForm
Output