行列行列の積と転置行列ケーリーーハミルトンの定理、2次、正方行列

学習環境

線形代数演習〈理工系の数学入門コース/演習新装版〉 (浅野功義(著)、大関清太(著)、岩波書店)の第2章(行列)、2-3(行列の積と転置行列)、問題4の解答を求めてみる。

A^{2} - (a + d) A + (a d - b c) E

= [\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}] [\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}] - (a + d) [\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}] + (a d - b c) [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}]

= [\begin{matrix} a^{2} + b c & a b + b d \\ a c + c d & b c + d^{2} \end{matrix}] - [\begin{matrix} a^{2} + a d & a b + b d \\ a c + c d & a d + d^{2} \end{matrix}] + [\begin{matrix} a d - b c & 0 \\ 0 & a d - b c \end{matrix}]

= [\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}]

= O

コード(Wolfram Language, Jupyter)

m = {{a, b}, {c, d}}

{{a, b}, {c, d}}

m . m -(a+d)m + (a d - b c) {{1, 0}, {0, 1}}

Simplify[%]

{{0, 0}, {0, 0}}

% // TraditionalForm