行列行列の積と転置行列べき乗、方程式、零、解

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線形代数演習〈理工系の数学入門コース/演習新装版〉 (浅野功義(著)、大関清太(著)、岩波書店)の第2章(行列)、2-3(行列の積と転置行列)、問題5の解答を求めてみる。

X = [\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}]

とおく。

X^{2} = O

[\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}] [\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}] = O

[\begin{matrix} a^{2} + b c & a b + b d \\ a c + c d & b c + d^{2} \end{matrix}] = O

\begin{array}{l} a^{2} + b c = 0 \\ a b + b d = 0 \\ a c + c d = 0 \\ b c + d^{2} = 0 \end{array}

b (a + d) = 0

a + d \neq 0

のとき、

\begin{array}{l} b = 0 \\ a^{2} = 0 \\ a = 0 \\ d^{2} = 0 \\ d = 0 \\ a + d = 0 \end{array}

これは矛盾。

a + d = 0

のとき、

\begin{array}{l} d = - a \\ b c + a^{2} = 0 \end{array}

b \neq 0

のとき、

c = - \frac{a^{2}}{b}

b = 0

のとき、

\begin{array}{l} a = 0 \\ d = 0 \end{array}

よって、

X^{2} = O

となる行列Xは、

X = [\begin{matrix} a & b \\ - \frac{a}{b^{2}} & - a \end{matrix}] b \neq 0, [\begin{matrix} 0 & 0 \\ c & 0 \end{matrix}]

と表すことのできる行列すべて。

コード(Wolfram Language, Jupyter)

x = {{a, b}, {c, d}}

{{a, b}, {c, d}}

o = {{0, 0}, {0, 0}}

{{0, 0}, {0, 0}}

Solve[x . x == o]

x = {{a, b}, {-a^2 / b, -a}}

x . x

{{0, 0}, {0, 0}}

x = {{0, 0}, {c, 0}}

{{0, 0}, {c, 0}}

x . x

{{0, 0}, {0, 0}}

% // TraditionalForm