数学のブログ

行列 行列の積と転置行列 べき乗、推測、帰納法

線形代数演習〈理工系の数学入門コース/演習 新装版〉 (浅野 功義(著)、大関 清太(著)、岩波書店)の第2章(行列)、2-3(行列の積と転置行列)、問題3の解答を求めてみる。

A 2 = [ 1 1 0 0 1 1 0 0 1 ] [ 1 1 0 0 1 1 0 0 1 ] = [ 1 2 1 0 1 2 0 0 1 ]
A 3 = [ 1 2 1 0 1 2 0 0 1 ] [ 1 1 0 0 1 1 0 0 1 ] = [ 1 3 3 0 1 3 0 0 1 ]
A 4 = [ 1 3 3 0 1 3 0 0 1 ] [ 1 1 0 0 1 1 0 0 1 ] = [ 1 4 6 0 1 4 0 0 1 ]
A 5 = [ 1 4 6 0 1 4 0 0 1 ] [ 1 1 0 0 1 1 0 0 1 ] = [ 1 5 10 0 1 5 0 0 1 ]
A n = [ 1 n ( n - 1 ) n 2 0 1 n 0 0 1 ]

と推測。

A n = A n · 1 A = [ 1 n - 1 ( n - 2 ) ( n - 1 ) 2 0 1 n - 1 0 0 1 ] [ 1 1 0 0 1 1 0 0 1 ] = [ 1 n ( n - 1 ) n 2 0 1 n 0 0 1 ]

よって帰納法により推測は成り立つ。

コード(Wolfram Language, Jupyter)

a = {{1, 1, 0},
     {0, 1, 1},
     {0, 0, 1}}

{{1, 1, 0}, {0, 1, 1}, {0, 0, 1}}
% // TraditionalForm
Output
b[n_] := {{1, n, (n-1)n/2},
          {0, 1, n},
          {0, 0, 1}}

b[n]
Output
% // TraditionalForm
Output
a  == b[1]
Output
a . a == b[2]
Output
a . a . a . a . a == b[5]
Output
b[5] // TraditionalForm
Output
a . a . a . a . a

{{1, 5, 10}, {0, 1, 5}, {0, 0, 1}}
% // TraditionalForm
Output