数学のブログ

行列行列の分割小行列、正方行列、交換可能であるための必要十分条件

線形代数演習
〈理工系の数学入門コース/演習新装版〉
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学習環境

線形代数演習〈理工系の数学入門コース/演習新装版〉 (浅野功義(著)、大関清太(著)、岩波書店)の第2章(行列)、2-4(行列の分割)、問題5の解答を求めてみる。

2n次正方行列Aが

J_{n} = [\begin{matrix} O_{n} & - E_{n} \\ E_{n} & O_{n} \end{matrix}]

ならば、

A J_{n} = J_{n} A

Aを小行列によって、

A = [\begin{matrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{matrix}]

と分割する。

A_{i j}

はn次正方行列。

このとき、

[\begin{matrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{matrix}] [\begin{matrix} O_{n} & - E_{n} \\ E_{n} & O_{n} \end{matrix}] = [\begin{matrix} O_{n} & - E_{n} \\ E_{n} & O_{n} \end{matrix}] [\begin{matrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{matrix}]

[\begin{matrix} A_{12} & - A_{11} \\ A_{22} & - A_{21} \end{matrix}] = [\begin{matrix} - A_{21} & - A_{22} \\ A_{11} & A_{12} \end{matrix}]

\begin{array}{l} A_{12} = - A_{21} \\ A_{11} = A_{22} \\ A_{22} = A_{11} \\ - A_{21} = A_{12} \end{array}

よって、

A = [\begin{matrix} A_{11} & A_{12} \\ - A_{12} & A_{11} \end{matrix}] = [\begin{matrix} A_{11} & - (- A_{12}) \\ (- A_{12}) & A_{11} \end{matrix}]

逆について。

[\begin{matrix} B & - C \\ C & B \end{matrix}] [\begin{matrix} O_{n} & - E_{n} \\ E_{n} & O_{n} \end{matrix}] = [\begin{matrix} - C & - B \\ B & - C \end{matrix}]

[\begin{matrix} O_{n} & - E_{n} \\ E_{n} & O_{n} \end{matrix}] [\begin{matrix} B & - C \\ C & B \end{matrix}] = [\begin{matrix} - C & - B \\ B & - C \end{matrix}]

よって、

A J_{n} = J_{n} A

となり、交換可能である。

ゆえに、必要な条件である。

（証明終）