行列行列の分割小行列、べき乗、推測、帰納法

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線形代数演習〈理工系の数学入門コース/演習新装版〉 (浅野功義(著)、大関清太(著)、岩波書店)の第2章(行列)、2-4(行列の分割)、問題2の解答を求めてみる。

[\begin{matrix} E - A & A \\ - A & E + A \end{matrix}] [\begin{matrix} E - A & A \\ - A & E + A \end{matrix}]

= [\begin{matrix} {(E - A)}^{2} - A^{2} & (E - A) A + A (E + A) \\ - A (E - A) + (E + A) (- A) & - A^{2} + {(E + A)}^{2} \end{matrix}]

= [\begin{matrix} E - 2 A & 2 A \\ - 2 A & E + 2 A \end{matrix}]

{[\begin{matrix} E - A & A \\ - A & E + A \end{matrix}]}^{m} = [\begin{matrix} E - m A & m A \\ - m A & E + m A \end{matrix}]

と推測。

{[\begin{matrix} E - A & A \\ - A & E + A \end{matrix}]}^{m}

= [\begin{matrix} E - (m - 1) A & (m - 1) A \\ - (m - 1) A & E + (m - 1) A \end{matrix}] [\begin{matrix} E - A & A \\ - A & E + A \end{matrix}]

A_{11} = E - A - (m - 1) A (E - A) - (m - 1) A^{2}

= E - m A

A_{12} = A - (m - 1) A^{2} + (m - 1) A (E + A) = m A

A_{21} = - (m - 1) A (E - A) - A - (m - 1) A^{2} = - m A

A_{22} = - (m - 1) A^{2} + E + A + (m - 1) A (E + A) = E + m A

{[\begin{matrix} E - A & A \\ - A & E + A \end{matrix}]}^{m} = [\begin{matrix} E - m A & m A \\ - m A & E + m A \end{matrix}]

よって、帰納法により成り立つ。